Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Schritt 1

Stelle die Formel auf, um die charakteristische Gleichung $p (λ)$ zu ermitteln.

$p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$

Schritt 2

Die Identitätsmatrix oder Einheitsmatrix der Größe $4$ ist die $4 \times 4$ Quadratmatrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen überall anders.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 3

Setze die bekannten Werte in $p (λ) = Determinante (A - λ I_{4})$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze $A$ durch $[\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Schritt 3.2

Ersetze $I_{4}$ durch $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- λ$ mit jedem Element der Matrix.

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.7.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.8.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.10.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.10.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.12.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.12.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.13.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.13.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.14.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15

Multipliziere $- λ \cdot 0$ .

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Schritt 4.1.2.15.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.15.2

Mutltipliziere $0$ mit $λ$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Schritt 4.1.2.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = Determinante ([\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Schritt 4.2

Addiere die entsprechenden Elemente.

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3

Simplify each element.

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Schritt 4.3.1

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.3

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.4

Addiere $1$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.5

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.6

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.7

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.8

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.9

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.10

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.11

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.12

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.13

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 - λ \end{array}]$

Schritt 4.3.14

Subtrahiere $λ$ von $0$ .

$p (λ) = Determinante [\begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}]$

Schritt 5

Find the determinant.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

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Schritt 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$

Schritt 5.1.9

The minor for $a_{34}$ is the determinant with row $3$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.1.10

Multiply element $a_{34}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 3 - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} | + 0$

Schritt 5.5

Berechne $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 3 - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 5.5.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Schritt 5.5.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$

Schritt 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |) + 0$

Schritt 5.5.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 3 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |) + 0$

Schritt 5.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 3 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |) + 0$

Schritt 5.5.4

Berechne $| \begin{array}{c} 3 - λ & 1 \\ 1 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Schritt 5.5.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ ((3 - λ) (3 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.1

Multipliziere $(3 - λ) (3 - λ)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (3 (3 - λ) - λ (3 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ (3 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (3 \cdot 3 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 + 3 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.1.7

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 3 λ - 3 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.2.2

Subtrahiere $3 λ$ von $- 3 λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 6 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (9 - 6 λ + λ^{2} - 1)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (- 6 λ + λ^{2} + 8)) + 0$

Schritt 5.5.4.2.3

Stelle $- 6 λ$ und $λ^{2}$ um.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 + 0 - λ (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0$

Schritt 5.5.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.5.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 - λ (λ^{2} - 6 λ + 8)$ .

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Schritt 5.5.5.1.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (0 - λ (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0$

Schritt 5.5.5.1.2

Subtrahiere $λ (λ^{2} - 6 λ + 8)$ von $0$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0$

Schritt 5.5.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Schritt 5.5.5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.1

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.1.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Schritt 5.5.5.3.1.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.3.1.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Schritt 5.5.5.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Schritt 5.5.5.3.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0$

Schritt 5.5.5.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8) + 0$

Schritt 5.5.5.3.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 8 λ) + 0$

Schritt 5.5.5.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.5.4.1

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.5.4.1.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 8 λ) + 0$

Schritt 5.5.5.4.1.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Schritt 5.5.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Schritt 5.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.1.1

Addiere $0$ und $0$ .

$p (λ) = 0 - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Schritt 5.6.1.2

Subtrahiere $λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ)$ von $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $- λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ)$ und $0$ .

$p (λ) = - λ (- λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ)$

Schritt 5.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$p (λ) = - λ (- λ^{3}) - λ (6 λ^{2}) - λ (- 8 λ)$

Schritt 5.6.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (6 λ^{2}) - λ (- 8 λ)$

Schritt 5.6.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - λ (- 8 λ)$

Schritt 5.6.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.4.1

Multipliziere $λ$ mit $λ^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.4.1.1

Bewege $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.1.2

Mutltipliziere $λ^{3}$ mit $λ$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.6.4.1.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$p (λ) = - 1 \cdot - 1 λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p (λ) = 1 λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.3

Mutltipliziere $λ^{4}$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 λ \cdot λ^{2} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.4

Multipliziere $λ$ mit $λ^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.4.4.1

Bewege $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ) - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.4.2

Mutltipliziere $λ^{2}$ mit $λ$ .

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Schritt 5.6.4.4.2.1

Potenziere $λ$ mit $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 (λ^{2} λ^{1}) - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{2 + 1} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$p (λ) = λ^{4} - 1 \cdot 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ \cdot λ$

Schritt 5.6.4.6

Multipliziere $λ$ mit $λ$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.6.4.6.1

Bewege $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 (λ \cdot λ)$

Schritt 5.6.4.6.2

Mutltipliziere $λ$ mit $λ$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} - 1 \cdot - 8 λ^{2}$

Schritt 5.6.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2}$

Schritt 6

Setze das charakteristische Polynom gleich $0$ , um die Eigenwerte $λ$ zu ermitteln.

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} = 0$

Schritt 7

Löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{4} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1.1.1

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{4}$ heraus.

$λ^{2} λ^{2} - 6 λ^{3} + 8 λ^{2} = 0$

Schritt 7.1.1.2

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $- 6 λ^{3}$ heraus.

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 6 λ) + 8 λ^{2} = 0$

Schritt 7.1.1.3

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $8 λ^{2}$ heraus.

$λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 6 λ) + λ^{2} \cdot 8 = 0$

Schritt 7.1.1.4

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{2} λ^{2} + λ^{2} (- 6 λ)$ heraus.

$λ^{2} (λ^{2} - 6 λ) + λ^{2} \cdot 8 = 0$

Schritt 7.1.1.5

Faktorisiere $λ^{2}$ aus $λ^{2} (λ^{2} - 6 λ) + λ^{2} \cdot 8$ heraus.

$λ^{2} (λ^{2} - 6 λ + 8) = 0$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $λ^{2} - 6 λ + 8$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $8$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 4, - 2$

Schritt 7.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$λ^{2} ((λ - 4) (λ - 2)) = 0$

Schritt 7.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$λ^{2} (λ - 4) (λ - 2) = 0$

Schritt 7.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$λ^{2} = 0$

$λ - 4 = 0$

$λ - 2 = 0$

Schritt 7.3

Setze $λ^{2}$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $λ^{2}$ gleich $0$ .

$λ^{2} = 0$

Schritt 7.3.2

Löse $λ^{2} = 0$ nach $λ$ auf.

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Schritt 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{0}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 7.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$λ = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 7.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$λ = \pm 0$

Schritt 7.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$λ = 0$

Schritt 7.4

Setze $λ - 4$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.4.1

Setze $λ - 4$ gleich $0$ .

$λ - 4 = 0$

Schritt 7.4.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 4$

Schritt 7.5

Setze $λ - 2$ gleich $0$ und löse nach $λ$ auf.

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Schritt 7.5.1

Setze $λ - 2$ gleich $0$ .

$λ - 2 = 0$

Schritt 7.5.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$λ = 2$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $λ^{2} (λ - 4) (λ - 2) = 0$ wahr machen.

$λ = 0, 4, 2$